Xét hạng tổng quát:

\(\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

Áp dụng vào bài, ta có:

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)

\(=\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(=\sqrt{n}-1\)

Với n = 2 thì \(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k

=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}>\sqrt{K}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1

Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}>\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}\)

= \(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}\)

Mà ta lại có

\(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}-\sqrt{K+1}\)

= \(\frac{\sqrt{K^2+K}-K}{\sqrt{K+1}}>0\)

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1

=> Điều phải chứng minh

Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{n}};...\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}.n=\sqrt{n}\)

a) Ta có \(\frac{1}{n+k}>\frac{1}{2n}\)với k=1;2;...;n-1

=> \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)

Mặt khác ta có \(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n\left(+\left(n+1-k\right)\right)}< \frac{3}{2n}\)

\(\Leftrightarrow3k^2+3nk+n+3k\forall k=1;2;...;n\)

Với k=1 ta có \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)

Với k=2 ta có \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\)

..........................................

Với k=n ta có \(\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)

Cộng từng vế của 2 BĐT trên ta được

\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+....+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)(đpcm)

Không cần chứng minh \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\)

b) Ta có \(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{1}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)

Khi cho k=1,.....,n ta có:

\(1>2\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)

................................

\(\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

Cộng từng vế BĐT trên ta có \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)

Vậy ta có đpcm